Como usar
- Escreva a equação na forma padrão: ax² + bx + c = 0, com tudo de um lado e zero do outro.
- Digite Valor de a, Valor de b e Valor de c, com os sinais. Termo que falta vale 0.
- A calculadora mostra x₁ e x₂ (reais ou complexas), o delta, o vértice da parábola, a soma e o produto das raízes e o gráfico. Ver a resolução passo a passo abre todas as contas.
Se você digitar a = 0, a calculadora avisa que a equação é do 1º grau e mostra a raiz.
Passo 1: colocar na forma padrão
Muitos exercícios não chegam prontos. Antes de identificar a, b e c, passe tudo para o mesmo lado:
| Equação do exercício | Forma padrão | a, b, c |
|---|---|---|
| x² = 5x − 6 | x² − 5x + 6 = 0 | 1, −5, 6 |
| 2x² = 8x | 2x² − 8x = 0 | 2, −8, 0 |
| x(x + 3) = 40 | x² + 3x − 40 = 0 | 1, 3, −40 |
| 4x − x² = 0 | −x² + 4x = 0 | −1, 4, 0 |
Passo 2: escolher o método
Incompleta sem b (ax² + c = 0): isole x². Em x² − 9 = 0, x² = 9, então x = 3 ou x = −3.
Incompleta sem c (ax² + bx = 0): coloque x em evidência. Em 2x² − 8x = 0, x(2x − 8) = 0, então x = 0 ou x = 4.
Completa: use a fórmula de Bhaskara.
Exemplo: 2x² + 3x − 2 = 0
a = 2, b = 3, c = −2.
- Delta: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
- Raiz do delta: √25 = 5
- x₁ = (−3 + 5) ÷ (2 × 2) = 2 ÷ 4 = 0,5
- x₂ = (−3 − 5) ÷ 4 = −8 ÷ 4 = −2
Conferindo pela soma e pelo produto: 0,5 + (−2) = −1,5 = −b ÷ a, e 0,5 × (−2) = −1 = c ÷ a. Vértice: (−0,75; −3,125).
Exemplo: problema com área
Um terreno retangular tem um lado 3 m maior que o outro e área de 40 m². Quanto mede o menor lado?
- Chame o menor lado de x. O outro é x + 3.
- Área: x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0
- Na calculadora: a = 1, b = 3, c = −40 → Δ = 169, x₁ = 5 e x₂ = −8
- Medida negativa não serve: o menor lado mede 5 m, e o maior, 8 m.
O que o gráfico mostra
O gráfico de y = ax² + bx + c é uma parábola.
- a > 0: a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mínimo.
- a < 0: abre para baixo e o vértice é o ponto máximo.
- As raízes reais são os pontos onde a curva cruza o eixo x. Com Δ < 0 ela não toca o eixo.
O vértice responde perguntas de máximo e mínimo. Em −x² + 4x, o vértice é (2; 4): o maior valor que a expressão alcança é 4, quando x = 2.
Erros comuns
- Não igualar a zero antes. Em x² = 5x − 6, a = 1, b = 5 e c = −6 está errado. Primeiro passe tudo: x² − 5x + 6 = 0.
- Dividir por x em 2x² = 8x. Assim você perde a raiz x = 0. Coloque x em evidência.
- Aceitar raiz que não faz sentido no problema. Medidas, tempo e quantidades não podem ser negativos.
- Esquecer o sinal de c no −4ac. Com c negativo, o delta aumenta.
Para os detalhes da fórmula, com a tabela do delta e de onde vem o nome, veja a calculadora de Bhaskara.